В процессе изучения математики, многие школьники и студенты сталкиваются с построением различных графиков, в частности, парабол. Параболы являются одними из самых часто встречающихся графиков, используемых на многих контрольных, проверочных и тестовых работах. Поэтому знание простейших инструкций по их построению окажет вам значительную помощь.

Вам понадобится

• - линейка и карандаш;
• - калькулятор.

Инструкция

• Для начала, начертите на листе бумаги координатные оси: ось абсцисс и ось ординат. Подпишите их. После этого, поработайте над данной квадратичной функцией. Она должна быть такого вида: y=ax^2+bx+c. Самой популярной функцией является y=x^2, поэтому ее можно привести в качестве примера.
• После построения осей, найдите координаты вершины вашей параболы. Чтобы найти координату по оси X, подставьте известные данные в эту формулу: x=-b/2a, по оси Y - подставьте полученное значение аргумента в функцию. В случае с функцией y=x^2, координаты вершины совпадают с началом координат, т.е. в точке (0;0), так как значение переменной b равно 0, следовательно и x=0. Подставив значение x в функцию y=x^2, нетрудно найти ее значение - y=0.
• После нахождения вершины, определитесь с направлением ветвей параболы. Если коэффициент a из записи функции вида y=ax^2+bx+c положителен, то ветви параболы направлены вверх, если отрицателен - вниз. График функции y=x^2 направлен вверх, так как коэффицент a равен единице.
• Следующим шагом будет вычисление координат точек параболы. Чтобы их найти, подставьте в значение аргумента какое-либо число и вычислите значение функции. Для построения графика хватит 2-3 точек. Для большего удобства и наглядности, начертите таблицу со значениями функции и аргумента. Также не забывайте, что парабола обладает симметричностью, следовательно это облегчает процесс создания графика. Самые часто используемые точки параболы y=x^2 - (1;1), (-1;1) и (2;4), (-2;4).
• После нанесения точек на координатную плоскость, соедините их плавной линией, придавая ей округлые формы. Не заканчивайте график в верхних точках, а продлите его, так как парабола бесконечна. Не забудьте подписать график на чертеже, а также напишите необходимые координаты на осях, в противном случае, это вам могут посчитать за ошибку и снять определенное количество баллов.

Эллипс. Если рассечь поверхность кругового конуса наклонной плоскостью Р так, чтобы она пересекла все его образующие, то в плоскости сечения получится эллипс (рисунок 65).

Рисунок 65

Эллипс (рисунок 66) – плоская замкнутая кривая, у которой сумма расстояний от любой ее точки (например, от точки М ) до двух заданный точек F 1 и F 2 – фокусов эллипса – есть величина постоянная, равная длине его большой оси AB (например, F 1 M + F 2 M = AB ).Отрезок AB называется большой осью эллипса, а отрезок CD – его малой осью. Оси эллипса пересекаются в точке O – центре эллипса, а его размер определяет длины большой и малой осей. Точки F 1 и F 2 расположены на большой оси AB симметрично относительно точки O и удалены от концов малой оси (точек С и D ) на расстояние, равное половине большой оси эллипса .

Рисунок 66

Существует несколько способов построения эллипса. Наиболее просто построить эллипс по двум его осям при помощи вспомогательных окружностей (рисунок 67). В этом случае задают центр эллипса – точку O и через нее проводят две взаимно перпендикулярные прямые (рисунок 67, а). Из точки О описывают две окружности радиусами, равными половине большой и малой осей. Большую окружность делят на 12 равных частей и точки деления соединяют с точкой О . Проведенные линии разделят меньшую окружность также на 12 равных частей. Затем через точки деления меньшей окружности проводят горизонтальные прямые (или прямые, параллельные большой оси эллипса), а через точки деления большей окружности – вертикальные (или прямые, параллельные малой оси эллипса). Точки их пересечения (например, точка М ) принадлежат эллипсу. Соединив полученные точки плавной кривой, получают эллипс (рисунок 67, б).

Рисунок 67

Парабола. Если круговой конус рассечь плоскостью Р , параллельной одной из его образующих, то в плоскости сечения получится парабола (рисунок 68).

Рисунок 68

Парабола (рисунок 69) – плоская кривая, каждая точка которой удалена на одинаковое расстояние от заданной прямой DD 1 , называемой директрисой , и точки F – фокуса параболы . Например, для точки М отрезки MN (расстояние до директрисы) и MF (расстояние до фокуса) равны, т. е. MN = MF .

Парабола имеет форму разомкнутой кривой с одной осью симметрии, которая проходит через фокус параболы – точку F и расположена перпендикулярно к директрисе DD 1 .Точна A , лежащая на середине отрезка OF , называется вершиной параболы . Расстояние от фокуса до директрисы – отрезок OF = 2´OA – обозначают буквой р и называют параметром параболы . Чем больше параметр р , тем резче ветви параболы отходят от ее оси. Отрезок, заключенный между двумя точками параболы, расположенными симметрично относительно оси параболы, называется хордой (например, хорда MК ).

Рисунок 69

Построение параболы по ее директрисе DD 1 и фокусу F (рисунок 70, а). Через точку F перпендикулярно к директрисе проводят ось параболы до пересечения ее с директрисой в точке О. Отрезок OF = p делят пополам и получают точку A – вершину параболы. На оси параболы отточки A откладывают несколько постепенно увеличивающихся отрезков. Через точки деления 1, 2, 3 ит. д. проводят прямые, параллельные директрисе. Приняв фокус параболы за центр, описывают дуги радиусом R 1 =L 1 1 ,радиусом R 2 = L 2 до пересечения с прямой, проведенной через точку 2 ,и т. д. Полученные точки принадлежат параболе. Вначале их соединяют тонкой плавной линией от руки, затем обводят по лекалу.

Построение параболы по ее оси, вершине А и промежуточной точке М (рисунок 70, б).Через вершину A проводят прямую, перпендикулярную к оси параболы, а через точку М – прямую, параллельную оси. Обе прямые пересекаются в точке B . Отрезки AB и BM делят на одинаковое число равных частей, а точки деления нумеруют в направлениях, указанных стрелками. Через вершину A и точки 1 , 2 , 3 , 4 проводят лучи, а из точек I , II , III , IV – прямые, параллельные оси параболы. На пересечении прямых, обозначенных одинаковым номером, расположены точки, принадлежащие параболе. Обе ветви параболы одинаковы, поэтому другую ветвь строят симметрично первой с помощью хорд.

Рисунок 70

Построение параболы, касательной к двум прямым OA и ОВ в данных на них точках A и В (рисунок 71, б). Отрезки OA и ОВ делят на одинаковое число равных частей (например, на 8 частей). Полученные точки деления нумеруют и одноименные точки соединяют прямыми 1–1 , 2 –2 , 3 –3 и т. д. Эти прямые являются касательными к параболической кривой. Далее в образованный прямыми контур вписывают плавную касательную кривую – параболу.

Рисунок 71

Гипербола. Если рассечь прямой и обратный конусы плоскостью, параллельной двум его образующим или в частном случае параллельной оси, то в плоскости сечения получится гипербола, состоящая из двух симметричных ветвей (рисунок 72, а).

Гиперболой (рисунок 72, б)называется незамкнутая плоская кривая, представляющая собой множество точек, разность расстояний которых от двух данных точек есть величина постоянная.

Рисунок 72

Постоянные точки F 1 и F 2 называются фокусами, а расстояние между ними – фокусным расстоянием. Отрезки прямой (F 1 M и F 2 M ), соединяющие какую-нибудь точку (M ) кривой с фокусами, называются радиус–векторами гиперболы. Разность расстояний точки от фокусов F 1 и F 2 есть величина постоянная и равная расстоянию между вершинами а и b гиперболы; например, для точки M будем иметь: F 1 M -F 2 M = ab. Гипербола состоит из двух незамкнутых ветвей, имеет две взаимно перпендикулярные оси – действительнуюАВ и мнимуюCD. Прямые pq и rs, проходящие через центр O ,называются асимптотами.

Построение гиперболы по данным асимптотам pq и rs, фокусам F 1 и F 2 приведено на рисунке 72, б.

Действительная ось АВ гиперболы является биссектрисой угла, образованного асимптотами. Мнимая ось CD перпендикулярна АВ и проходит через точку О. Имея фокусы F 1 и F 2 , определяют вершины а и b гиперболы, для чего на отрезке F 1 F 2 строят полуокружность, которая пересекает асимптоты в точках m и п. Из этих точек опускают перпендикуляры на ось AB и на пересечении с ней получают вершины а и b гиперболы.

Для построения правой ветви гиперболы на прямой АВ правее фокуса F 1 намечают произвольные точки 1 , 2 , 3 , ..., 5. Точки V и V1 гиперболы получаются, если принять отрезок а5 за радиус и из точки F2 провести дугу окружности, которую засекают из точки F 1 , радиусом, равным b5. Остальные точки гиперболы строятся по аналогии с описанным.

Иногда приходится строить гиперболу, у которой асимптоты ОХ и OY взаимно перпендикулярны (рисунок 73). В этом случае действительная и мнимая оси будут бисс ектрисами прямых углов. Для построения задается одна из точек гиперболы, например точка А.

Рисунок 73

Через точку A проводят прямые АK и AM , параллельные осям ох и oу .Из точки O перес ечения ос ей проводят прямые, перес екающие прямые AM и АK в точках 1 , 2 , 3 , 4 и 1" , 2" , 3" , 4" . Далее из точек пересечения с этими прямыми проводят вертикальные и горизонтальные отрезки до их взаимного пересечения в точках I, II, III,IV и т. д. Полученные точки гиперболы соединяют спомощью лекала. Точки 1, 2, 3, 4 , расположенные на вертикальной прямой, берутся произвольно.

Эвольвента окружности или развертка окружности. Эвольвентой окружности называется плоская кривая, которую описывает каждая точка прямой линии, если эту прямую катить без скольжения по неподвижной окружности (траектория точек окружности, образованная ее развертыванием и выпрямлением) (рисунок 74).

Для построения эвольвенты достаточно задать диаметр окружности D и начальное положение точки A (точку A 0 ). Через точку A 0 проводят касательную к окружности и на ней откладывают длину заданной окружности D . Полученный отрезок и окружность делят на одинаковое число частей и через точки деления окружности проводят в одном направлении касательные к ней. На каждой касательной откладывают отрезки, взятые с горизонтальной прямой и соответственно равные 1A 1 = A 0 1 , 2A 2 = В A 0 2 , 3A 3 = А 0 3 и т. д.; полученные точки соединяют по лекалу.

Рисунок 74

Спираль Архимеда - плоская кривая, которую описывает точка A , равномерно вращающаяся вокруг неподвижной точки – полюса О и одновременно равномерно удаляющаяся от него (рисунок 75). Расстояние, пройденное точкой при повороте прямой на 360°, называют шагом спирали. Точки, принадлежащие спирали Архимеда, строят исходя из определения кривой, задаваясь шагом и направлением вращения.

Построение спирали Архимеда по заданному шагу (отрезок ОА) и направлению вращения по часовой стрелке (рисунок 75).Через точку О проводят прямую, откладывают на ней величину шага спирали OA и, приняв его за радиус, описывают окружность. Окружность и отрезок OA делят на 12 равных частей. Через точки деления окружности проводят радиусы O1 , O2 , O3 и т. д. и на них от точки О откладывают при помощи дуг соответственно 1/12, 2/12, 3/12 и т. д. радиуса окружности. Полученные точки соединяют по лекалу плавной кривой.

Спираль Архимеда является незамкнутой кривой, и при необходимости можно построить любое число ее витков. Для построения второго витка описывают окружность радиусом R = 2 OA и повторяют все предыдущие построения.

Рисунок 75

Синусоида. Синусоидой называется проекция траектории точки, движущейс я по цилиндричес кой винтовой линии, на плоскость, параллельную оси цилиндра. Движение точки складывается из равномерно–вращательного движения (вокруг оси цилиндра) и равномерно–поступательного (параллельно оси цилиндра). Синусоида – это плоская кривая, которая показывает изменение тригонометрической функции синуса в зависимости от изменения величины угла.

Для построения синусоиды (рисунок 76) через центр О окружности диаметра D проводят прямую ОХ и на ней откладывают отрезок O 1 A , равный длине окружности D. Этот отрезок и окружность делят на одинаковое число равных частей. Из полученных и занумерованных точек проводят взаимно перпендикулярные прямые. Полученные точки пересечения этих прямых соединяют с помощью лекала плавной кривой.

Рисунок 76

Кардиоида . Кардиоидой (рисунок 77) называетс я замкнутая траектория точки окружнос ти, которая катится без скольжения по неподвижной окружности таким же радиусом.

Рисунок 77

Из центра О проводят окружность заданного радиуса и берут на ней произвольную точку M. Через эту точку проводят ряд секущих. На каждой секущей по обе стороны от точки пересечения ее с окружностью откладывают отрезки, равные диаметру окружности M1. Так, секущая III3МIII 1 пересекает окружность в точке 3 ;от этой точки откладывают отрезки 3III и 3III 1 , равные диаметру M1. Точки III и III 1 , принадлежат кардиоиде. По аналогии, с екущая IV4MIV 1 перес екает окружность в точке 4; от этой точки откладывают отрезки IV4 и 4IV 1 , равные диаметру M1, получают точки IV и IV 1 и т. д.

Найденные точки соединяют кривой, как указано на рисунке 77.

Циклоидальные кривые . Циклоиды– плоские кривые линии, описываемые точкой, принадлежащей окружности, катящейся без скольжения по прямой линии или окружности. Если при этом окружность катится по прямой линии, то точка описывает кривую, называемую циклоидой .

Если окружность катится по другой окружности, находясь вне ее (по выпуклой части), то точка описывает кривую, называемую эпициклоидой.

Если же окружность катится по другой окружности, находясь внутри ее (по вогнутой части), то точка описывает кривую, называемую гипоциклоидой. Окружность, на которой расположена точка, называется производящей. Линия, по которой катится окружность, называется направляющей.

Для построения циклоиды (рисунок 78) проводят окружность заданного радиуса R ; на ней берут начальную точку A и проводят направляющую прямую АВ, по которой катится окружность.

Рисунок 78

Делят заданную окружность на 12 равных частей (точки 1" , 2" , 3" , ..., 12"). Если точка A перемес титс я в положение A 12 , то отрезок AA 12 будет равен длине заданной окружнос ти, т. е. . Проводят линию центров О – O 12 производящей окружнос ти, равную , и делят ее на 12 равных частей. Получают точки O 1 , O 2 , O 3 , ..., O 12 , являющиеся центрами производящей окружнос ти. Из этих точек проводят окружнос ти (или дуги окружнос тей) заданного радиуса R , которые касаются прямой АВ в точках 1,2, 3, ..., 12. Если от каждой точки касания отложить на соответствующей окружности длину дуги, равную величине, на которую переместилась точка A , то получим точки, принадлежащие циклоиде. Например, для получения точки A 5 циклоиды следует из центра O 5 провести окружность и от точки касания 5 отложить по окружности дугу А5, равную А5", или из точки 5" провести прямую, параллельную АВ, до пересечения в точке A 5 с проведенной окружностью. Аналогично строят и все другие точки циклоиды.

Эпициклоида строится следующим образом. На рисунке79 изображены производящая окружность радиус а R с центром O 0 , начальная точка A на ней и дуга направляющей окружнос ти радиус а R 1 , по которой катитс я окружность. Построение эпициклоиды аналогично построению циклоиды, а именно: делят заданную окружность на 12 равных частей (точки 1" , 2" , 3" , ...,12"), каждую часть этой окружности откладывают от точки A по дуге АВ 12 раз (точки 1 , 2 , 3 , ..., 12) и получают длину дуги AA 12 . Эту длину можно определить с помощью угла .

Далее из центра О радиусом, равным OO 0 , наносят линию центров производящей окружности и, проводя радиусы 01 , 02 , 03 , ...,012 ,продолженные до пересечения с линией центров, получают центры О 1 , О 2 , ..., O 12 производящей окружности. Из этих центров радиусом, равным R , проводят окружности или дуги окружностей, на которых строят ис комые точки кривой; Так, для получения точки A 4 с ледует провес ти дугу окружнос ти радиусом O4" до пересечения с окружностью, проведенной из центра O 4 . Аналогично строятся и другие точки, которые затем соединяются плавной кривой.

Рисунок 79

Похожая информация.

Урок: как построить параболу или квадратичную функцию?

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Парабола — это график функции описанный формулой ax 2 +bx+c=0.
Чтобы построить параболу нужно следовать простому алгоритму действий:

1) Формула параболы y=ax 2 +bx+c ,
если а>0 то ветви параболы направленны вверх ,
а то ветви параболы направлены вниз .
Свободный член c эта точке пересекается параболы с осью OY;

2) , ее находят по формуле x=(-b)/2a , найденный x подставляем в уравнение параболы и находим y ;

3) Нули функции или по другому точки пересечения параболы с осью OX они еще называются корнями уравнения. Чтобы найти корни мы уравнение приравниваем к 0 ax 2 +bx+c=0 ;

Виды уравнений:

a) Полное квадратное уравнение имеет вид ax 2 +bx+c=0 и решается по дискриминанту;
b) Неполное квадратное уравнение вида ax 2 +bx=0. Чтобы его решить нужно вынести х за скобки, потом каждый множитель приравнять к 0:
ax 2 +bx=0,
х(ax+b)=0,
х=0 и ax+b=0;
c)Неполное квадратное уравнение вида ax 2 +c=0. Чтобы его решить нужно неизвестные перенести в одну сторону, а известные в другую. x =±√(c/a);

4) Найти несколько дополнительных точек для построения функции.

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

И так теперь на примере разберем все по действиям:
Пример №1:
y=x 2 +4x+3
c=3 значит парабола пересекает OY в точке х=0 у=3. Ветви параболы смотрят вверх так как а=1 1>0.
a=1 b=4 c=3 x=(-b)/2a=(-4)/(2*1)=-2 y= (-2) 2 +4*(-2)+3=4-8+3=-1 вершина находится в точке (-2;-1)
Найдем корни уравнения x 2 +4x+3=0
По дискриминанту находим корни
a=1 b=4 c=3
D=b 2 -4ac=16-12=4
x=(-b±√(D))/2a
x 1 =(-4+2)/2=-1
x 2 =(-4-2)/2=-3

Возьмем несколько произвольных точек, которые находятся рядом с вершиной х=-2

х -4 -3 -1 0
у 3 0 0 3

Подставляем вместо х в уравнение y=x 2 +4x+3 значения
y=(-4) 2 +4*(-4)+3=16-16+3=3
y=(-3) 2 +4*(-3)+3=9-12+3=0
y=(-1) 2 +4*(-1)+3=1-4+3=0
y=(0) 2 +4*(0)+3=0-0+3=3
Видно по значениям функции,что парабола симметрична относительно прямой х=-2

Пример №2:
y=-x 2 +4x
c=0 значит парабола пересекает OY в точке х=0 у=0. Ветви параболы смотрят вниз так как а=-1 -1 Найдем корни уравнения -x 2 +4x=0
Неполное квадратное уравнение вида ax 2 +bx=0. Чтобы его решить нужно вынести х за скобки, потом каждый множитель приравнять к 0.
х(-x+4)=0, х=0 и x=4.

Возьмем несколько произвольных точек, которые находятся рядом с вершиной х=2
х 0 1 3 4
у 0 3 3 0
Подставляем вместо х в уравнение y=-x 2 +4x значения
y=0 2 +4*0=0
y=-(1) 2 +4*1=-1+4=3
y=-(3) 2 +4*3=-9+13=3
y=-(4) 2 +4*4=-16+16=0
Видно по значениям функции,что парабола симметрична относительно прямой х=2

Пример №3
y=x 2 -4
c=4 значит парабола пересекает OY в точке х=0 у=4. Ветви параболы смотрят вверх так как а=1 1>0.
a=1 b=0 c=-4 x=(-b)/2a=0/(2*(1))=0 y=(0) 2 -4=-4 вершина находится в точке (0;-4)
Найдем корни уравнения x 2 -4=0
Неполное квадратное уравнение вида ax 2 +c=0. Чтобы его решить нужно неизвестные перенести в одну сторону, а известные в другую. x =±√(c/a)
x 2 =4
x 1 =2
x 2 =-2

Возьмем несколько произвольных точек, которые находятся рядом с вершиной х=0
х -2 -1 1 2
у 0 -3 -3 0
Подставляем вместо х в уравнение y= x 2 -4 значения
y=(-2) 2 -4=4-4=0
y=(-1) 2 -4=1-4=-3
y=1 2 -4=1-4=-3
y=2 2 -4=4-4=0
Видно по значениям функции,что парабола симметрична относительно прямой х=0

Подписывайтесь на канал на YOUTUBE , чтобы быть в курсе всех новинок и готовится с нами к экзаменам.

Для того, чтобы начертить график функции в Прямоугольной системе координат, нам необходимы две перпендикулярные прямые xOy (где O это точка пресечения x и y), которые называются "координатными осями", и нужна единица измерения.

У точки в этой системе есть две координаты.
M(x, y): M это название точки, x это абсцисса и она измеряется по Ox, а y это ордината и мерится по Oy.

Если мы рассмотрим функцию f: A -> B (где A - область определения, B - область значений функции), тогда точку на графике данной функции можно представить в форме P(x, f(x)).

Пример
f:A -> B, f(x) = 3x - 1
If x = 2 => f(2) = 3×2 - 1 = 5 => P(2, 5) ∈ Gf (где Gf это график данной функции).

Квадратичная функция

Стандартная форма: f(x) = ax 2 + bx + c

Вершинная форма: $f(x)=(a+\frac{b}{2a})^2-\frac{\Delta}{4a}$
где Δ = b 2 - 4ac

Если a > 0 , то минимальным значением f(x) будет $-\frac{\Delta}{4a}$ , которое получается, если $x=-\frac{b}{2a}$. Графиком будет выпуклая парабола , вершина которой (точка, в которой она меняет направление) это $V(-\frac{b}{2a};-\frac{\Delta}{4a})$.

Если a < 0 , то минимальное значение f(x) будет $-\frac{\Delta}{4a}$ , которое получается, если $x=-\frac{b}{2a}$. Графиком будет вогнутая парабола , вершина которой это$V(-\frac{b}{2a};-\frac{\Delta}{4a})$.

Парабола симметрична относительно прямой, которую она пересекает $x=-\frac{b}{2a}$ и которая называется "осью симметрии" .
Именно поэтому, когда мы присваиваем знаячения x , то вибираем их симметричными относительно $-\frac{b}{2a}$.
При построении графика, точки пересечения с осями координат очень важны.

|. Точка, расположенная на оси Ox имеет форму P(x, 0) , потому что расстояние от неё до Ox равно 0. Если точка находиться и на Ox и на графике функции,то она также имеет вид P(x, f(x)) ⇒ f(x) = 0 .

Таким образом, для того чтобы найти координаты точки пересечения с осью Ox , мы должны решить уравнение f(x)=0 . Мы получаем уравнение a 2 + bx + c = 0 .

Решение уравнения зависит от знака Δ = b 2 - 4ac .

Иммем следующие варианты:

1) Δ < 0 ,
тогда у уравнения нет решений в R (множестве действительных чисел) и график не пересекает Ox . Форма графика будет:

2) Δ = 0 ,
тогда у уравнения два решения $x_1=x_2=-\frac{b}{2a}$
График касается оси Ox в вершине параболы. Форма графика будет:

3) Δ > 0 ,
тогда у уравнения два разных решения.

$x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ и $x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$

График функции будет пересекать ось Ox в точках M(x 1 и Ox . Форма графика будет:

||. Точка, находящаяся на оси Oy имеет форму R(0, y) , потому что расстояние от Oy равно 0 . Если точка находиться и на Oy и на графике функции, то она также имеет форму R(x, f(x)) ⇒ x = 0 ⇒ R(0, f(0)) .

В случае квадратичной функции,
f(0) = a×0 2 + b×0 + c ⇒ R(0, c).

Необходимые шаги для построения графика квадратичной функции

f: R → R
f(x) = ax 2 + bx + c

1. Составляем таблицу переменных, куда заносим некоторые важные значения x .

2. Вычисляем координаты вершины$V(-\frac{b}{2a};-\frac{\Delta}{4a})$.

3. Также записываем 0 в таблицу и нулевые значения симметричные $-\frac{b}{2a}$.

4. Мы определяем точку пересечения с осью Ox, решая уравнение f(x)=0 и записываем корни x 1 и x 2 в таблице.
Δ > 0 ⇒

Δ < 0 ⇒ точек пересечения нет. В этом случае мы выберем два удобных значения, которые симметричны $-\frac{b}{2a}$

Δ = 0 ⇒ график касается Ox прямо в вершине параболы. Мы снова выберем два удобных значения, симметричных $-\frac{b}{2a}$. Для лучшего определения формы графика мы может выбрать другие пары значений для x , но они должны быть симметричны $-\frac{b}{2a}$.

5. Мы наносим эти значения на систему координат и строим график, соединяя эти точки.

Пример 1
f: R → R
f(x) = x 2 - 2x - 3
a = 1, b = -2, c = -3

$-\frac{b}{2a}=\frac{2}{2}=1$ ⇒ V(1; -4)

1. $-\frac{\Delta}{4a}=-\frac{16}{4}=-4$

2. f(0) = -3
Симметричное 0 значение относительно 1 равно 2.
f(2) = -3

3. f(x) = 0 ⇒ x 2 - 2x - 3 = 0
Δ = 16 > 0
$x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{2-4}{2}=-1$

$x_1=\frac{2+4}{2}=3$

Мы нашли точки:
A(-1; 0)
B(0; -3)
V(1; -4)
C(2; -3)
D(3; 0)

График будет иметь вид:

Пример 2
f: R → R
f(x) = -x 2 - 2x + 8
a = -1, b = -2, c = 8
Δ = b 2 - 4×a×c = (-2) 2 - 4×(-1)×8 = 36
$-\frac{b}{2a}=\frac{2}{-2}=-1$ ⇒ V(-1; 9)

1. $-\frac{\Delta}{4a}=-\frac{-36}{-4}=9$

2. f(0) = 8
f(-2) = 8 (симметричное 0 значение относительно -1 равно -2)

3. f(x) = 0 ⇒ -x 2 - 2x + 8 = 0
Δ = 36
x 1 = 2 и x 2 = -4

A(-4; 0)
B(-2; 8)
V(-1; 9)
C(0; 8)
D(2; 0)

Пример 3
f: R → R
f(x) = x 2 - 4x + 4
a = 1, b = -4, c = 4
Δ = b 2 - 4×a×c = (-4) 2 - 4×1×4 = 0
$-\frac{b}{2a}=\frac{4}{2}=2$ ⇒ V(2; 0)

1. $-\frac{\Delta}{4a}=0$

2. f(0) = 4
f(4) = 4 (симметричное 0 значение относительно 2 равно 4)

3. f(x) = 0 ⇒ x 2 - 4x + 4 = 0
Δ = 0
x 1 = x 2 = $-\frac{b}{2a}$ = 2

A(-2; 9)
B(0; 4)
V(2; 0)
C(4; 4)
D(5; 9)

Пример 4
f: R → R
f(x) = -x 2 + 4x - 5
a = -1, b = 4, c = -5
Δ = b 2 - 4×a×c = 4 2 - 4×(-1)×(-5) = 16 - 20 = -4
$-\frac{b}{2a}=\frac{-4}{-2}=2$ ⇒ V(2; -1)

1. $-\frac{\Delta}{4a}=-\frac{-4}{-4}=-1$

2. f(0) = -5
f(4) = -5 (симметричное 0 значение относительно 2 равно 4)

3. f(x) = 0 ⇒ -x 2 + 4x - 5 = 0, Δ < 0
У этого уравнения нет решений. Мы выбрали симметричные значения вокруг 2

A(-1; -10)
B(0; 5)
V(2; -1)
C(4; -5)
D(5; -10)

Если область определения не R (множество действительных чисел), а какой-то интервал, то мы стираем часть графика, которая соответствует тем значениям x, которые не находятся в данном интервале. Необходимо записать конечные точки интервала в таблице.

Пример 5
f: }